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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 dFO/JWr  
2>ZZ2e3MZ  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5KYml/KcIR  
/8Y r hz  
　　1、三角函数本质： <NJ1_  
!qsow|Mq  
　　三角函数的本质来源于定义 _|]7^wDz  
3Y` J\$u0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 A_)*`7-  
L _E )&,X`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /6+;o" l`  
q*X I^b2Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： {JogY  
{5AN~4scT  
　　推导： *E@/m4r\  
w-/u7+f ?  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s"7PT) J)  
nMh 9H(~  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ZQH6\Zd  
g~z3KT 1"  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /s Os~s  
A]HJo9 {iZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 fp .0w2  
!<o| OeYcR  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 2Xvax|n  
x}|zo8  
　　[1] oJd// h"i  
'  efBF  
　　两角和公式 7/PL)h/  
Ech3XSnW!U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB uFL2tS\  
[`8pSqq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "y< {?'[%  
DL|CQW$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y<.h(P3k  
%deU^>WoX  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB X[ogadYqc  
N?lp!2'  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 4NO1lS  
yDW2^Hg"  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) H9E:;WYm  
0? gmj8h;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  P!UWZFkUW  
x< =<!ur  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Rs^dESM  
{Z|Srj  
倍角公式 Pk `qyR'@p  
\xkaGo]Om  
　　Sin2A=2SinA•CosA %>7L;S/Tf  
fqa1t *6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Q~fRE9j$  
TNhOr7#x  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^_H_s  
b@R\!?-}  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） "")]DIo  
-3GNy1V2  
三倍角公式 g|:"B5)S  
A 6:5|+  
　　 ~."~Bd t#  
GOg@l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "x:U7Sc  
`"<8v!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Q;qO C.1  
c"dS~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) +^*!$2 /4V  
wScc NH.,  
三倍角公式推导 ,jXH!aUL  
[ Q05=5{  
　　sin3a j`sAK  
JwRdH/  
　　=sin(2a+a) 9~Zc#NOt<P  
:FbNt?6  
　　=sin2acosa+cos2asina ~3|<C rg  
|>H%6T3g  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O:g&0:qG  
j-(@`jP  
　　=3sina-4sin³a e%D15 ]c  
F-Vu?gi@r  
　　cos3a |;C PdI|  
z>"sjEm^g  
　　=cos(2a+a) D#`L~o 8~  
U'#M @%W  
　　=cos2acosa-sin2asina R2huTB   
H2'U,jo  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa W i ^bq  
-Z*n !8_  
　　=4cos³a-3cosa o 3`! }zux  
-5E$RvQ  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?p[-{nWiz  
He+ Y` }  
　　=4sina(3/4-sin²a) PN Ip;@U  
U\?zi`[e  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]=[~Q<j  
4]<\0BJ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) gSY a$:  
pk1g6<  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :Do' 4Uh  
L MwOW  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  "k-` L  
yz|OG3l  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2:TMIfpV  
4YB,`(k  
　　cos3a=4cos³a-3cosa hTFBu\nU  
_^.V^\-@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I hN)xH]  
eTO. !t<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rD)4S8I  
L$A"<a+#dN  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :#{gnWO]  
0F|?d\M  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ';`yNLxlU[  
]!>;SrbI  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  5yN!Ui  
5|Bv<U)  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) aE~i8&H  
DWDG($'\  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 98lU6N,u  
@1nh4 K`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ?6-?z  
R==pVM\ 5  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) L=j\0_\s*  
bv(]:HkA.B  
　　上述两式相比可得 6 vlEf5  
]\!g:1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) sY >t `  
WkD![(8Y4  
半角公式 m^/G*:;U<  
. }K Df  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); !L $ p  
Y?*<%,T2  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. c|/7+)EHv  
%F:'E f  
和差化积 =>9@Wm*  
K$O Dpd  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9(R1EL]o!  
PA"DW2QT  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hhV7U+\QV  
]6V #uya  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] z}_ AG:u  
h[x1t64&J  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Z$XDf Lf  
OaA>{fl]f  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [7&`WQ'z\  
Si4cC*C>x  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,,2 pVc  
8~>)A@3  
积化和差 y7'tfW0  
"UidjB Is  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~Id^Gyl[g  
?:jFzoJ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] s+z{v\Vb  
d.0IUC/&  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #w +#JFe  
u3)%{Je  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :&P/<q \|  
]<}B1O{  
诱导公式 B 18*@W=  
VLtJ2I  
　　sin(-α) = -sinα K+E|=  
X m#{hn  
　　cos(-α) = cosα ;Ll>bS`  
,J,`3z] ,  
　　sin(π/2-α) = cosα lAa"?xGI  
pC2SU@u  
　　cos(π/2-α) = sinα ]a"IAOt%o  
+]O!ens  
　　sin(π/2+α) = cosα fm*.|+vj  
7<IxG(  
　　cos(π/2+α) = -sinα wH(:ZYy  
,2S1'xV$O  
　　sin(π-α) = sinα MM=s<-  
Lq@\bC\[_  
　　cos(π-α) = -cosα BIMO2)[:2V  
b(c6z&n[  
　　sin(π+α) = -sinα @, ,Bbx  
9 R4DB^.~;  
　　cos(π+α) = -cosα gge #B  
y$)pHC Z  
　　tanA= sinA/cosA D"QsEMM?L=  
]2kU"~:.h9  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~9 vJE1B  
YgUWnc1#  
　　tan（π/2－α）＝cotα GxNPBz",J  
kRw qbE  
　　tan（π－α）＝－tanα QeL)y=0  
ubV:Q'@OK  
　　tan（π＋α）＝tanα rP!0!"_4  
52Vy?G9mXK  
万能公式 EP0SoEu  
!d J"x  
　　 zad\r< u  
PPG.B82  
其它公式 |4|^_ F X  
;{b n}AUH  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4bMpZ]n9  
]`#>%fr  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 m/rp4N$j>  
0_|865.-C  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 "EBmH=K  
gv YTmbV  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ev/lhhF0  
w08`5v,|  
　　对于任意非直角三角形,总有 &mbb PP  
'PyCN<q O  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q%t 1U  
z*x# N }c5  
　　证: " q zx~@  
 sDV&/)  
　　A+B=π-C {_],S2V"  
.j2(!\Hvv  
　　tan(A+B)=tan(π-C) GGRti5SZ  
nP@ F; 3eM  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  {@H(!  
ubDdUu04m  
　　整理可得 TFL!nLR_T  
2;rs!62_ )  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H20^4Szp  
GK7L037  
　　得证 U2wB\=)Oj-  
k- (pvG  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4a7|6  
{2%ah$  
其他非重点三角函数 1 2]hzJ  
/.WdT.BGP  
　　csc(a) = 1/sin(a) gI.^%- }  
k5 oKo#(  
　　sec(a) = 1/cos(a) Sw;_Ynd  
9 vQ?vl&I]  
　　 GJ O/V+Ac  
}E*_5*C^o  
双曲函数 'h,kByO2Q  
k;^<-V] 2  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 gmZ[#GV  
y;TClY9$'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #9V!C{{  
HTTs-| G5  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?h1(\;Yszr  
I-g.2$ 9/!  
　　公式一： i_4wW.y  
\ooq>DGRH  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： c,EGOJ;  
obE#::@  
　　sin（2kπ＋α）= sinα EV4PDg +\  
LP:E>u=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα R]Kx;UAR_  
9~5 :LH-  
　　tan（kπ＋α）= tanα {%Pg4qml  
bLcSiP?  
　　cot（kπ＋α）= cotα h2W]x n  
?B! krn  
　　公式二： t4 ;[z  
A?+ kF?[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： dp'? "LjL  
O"WRioa;"W  
　　sin（π＋α）= -sinα 9~>LS8~  
jVYcxd  
　　cos（π＋α）= -cosα Eo+ c  
eYXoNAy`l  
　　tan（π＋α）= tanα q]%T*E/ C  
#\~G,GI  
　　cot（π＋α）= cotα ^Eb*&d  
gOk]H@ ^/  
　　公式三： -^wP ^  
xOL_ 5Ss  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： r: WrXvT  
vd,CV=^  
　　sin（-α）= -sinα l/] 8Mzg  
i5#Ps@>`  
　　cos（-α）= cosα {*)r#Z:x  
-%De~<  
　　tan（-α）= -tanα ^.vp`)sG  
BxwD'OGi  
　　cot（-α）= -cotα '=O4v*?  
COSP%5^  
　　公式四： E!kNYo5  
WYv-p5.q  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： >$,12IS  
+Y J <  
　　sin（π-α）= sinα ?e,NJQdP  
X7"6.|g-  
　　cos（π-α）= -cosα <nFssLr  
[-KB'A  
　　tan（π-α）= -tanα  tZ +A[+.  
+7~g F9@  
　　cot（π-α）= -cotα  y'>]  
.87,>h1  
　　公式五： zu@d>ns4   
n,:V+ou  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .LI 2a  
|gK!T4ec  
　　sin（2π-α）= -sinα V<\n]0a#-  
<O 2PR=  
　　cos（2π-α）= cosα =@HB mF  
24pb_{TB  
　　tan（2π-α）= -tanα w`Hv%D#$v-  
BkNS4f>E  
　　cot（2π-α）= -cotα u\)(%  
z"Eq _`x  
　　公式六： x2Q|O T LX  
ql\Mv{0b  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： BOCK{H`  
l[e; {2  
　　sin（π/2+α）= cosα OaSJb;dO  
Nk\{+w`qP  
　　cos（π/2+α）= -sinα .tc@qR^^2)  
ZM<   
　　tan（π/2+α）= -cotα S398th0j  
{P&4wf+eQg  
　　cot（π/2+α）= -tanα eSV(bzpb  
N !53>!  
　　sin（π/2-α）= cosα XLXF0n q  
+AXv7] V_  
　　cos（π/2-α）= sinα Q5|R xE!f  
%-<%MCJ  
　　tan（π/2-α）= cotα ?j7,2P;B*  
f& nToj(  
　　cot（π/2-α）= tanα k1?BpqyM[o  
5TP{?]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Iy-W7|}_K  
:mc ,  
　　cos（3π/2+α）= sinα O<BjRwJe$  
'"3K_0f<  
　　tan（3π/2+α）= -cotα LW[8/-?+  
)' ]%Wsz1  
　　cot（3π/2+α）= -tanα L=. 4R#2=  
|D f@<?lP  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _}Ot"^>Q  
k2k1%~Y[U  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %f1humj|A  
NM% X5wE+  
　　tan（3π/2-α）= cotα KJ8j\[W7}_  
$TG9^+  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6;5c0gP`F  
mp/Qnh{Ty  
　　(以上k∈Z) o9C 4RxL  
2ew+}S?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 # p32hL  
;^S(S%$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &|xRKhz)]  
Z(f8*^;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $">:&qzz  
8/=W>&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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