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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 oS $7 iO;  
>#5O7zq=  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. X,Bz%0  
!<pXP;;Li  
　　1、三角函数本质： :8HAi8koN  
XBCil?+L  
　　三角函数的本质来源于定义 z7TeRc  
C_2'LC\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 [,w{%~3 u  
9fn q@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dy(|"K,+  
R-.B#_}9&Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Quf/;b  
B:jVqjBT  
　　推导： "d9OW(  
# ]0gX2b  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 QJ+LOe'u  
gjVx8N  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) yy=hei>  
>t@3]9RD  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) u0 ynJ  
))'}ElGk  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [% Zv0.3  
U4l.o(UN  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g?9F9G+qX  
[&h 7#N  
　　[1] NV {cR.l  
P"F=n  
　　两角和公式 HoI_#  
98hH$J\tKi  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N}Be|"x  
l><rf!M~>D  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  BSa MaNMc  
!M<bW<} K  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB b['Z(p1  
D0FB $J  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB mu?5r ]/U  
<g`TY.gKL  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) %jp #|  
2E 16Uw?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Uk#m:u  
g0Y@+l{  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X (`080xU  
-s!M!9@  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,8^Z0>p_  
sE*Rms1[WR  
倍角公式 Zf Rez}u  
^T<os: "  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;pz(.K "CT  
0% BZ("`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9W!fz  
 ,N9O#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） "~JkW5R  
<`;s@  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 3&TX m:r \  
o5'nN+NJ  
三倍角公式 a/0p v]  
< I:. o  
　　 [p>-K0AP  
Vj (Wt|=zG  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) B}<"t?sB)  
);DOuKq5f  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \wi47GWLB  
]DZAK`|  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) PIM ^ml*  
h7 y4|  
三倍角公式推导 -$]k8 LE  
|[ PY2`Qv  
　　sin3a 3Ti0G5#]  
;d{<|o*L  
　　=sin(2a+a) 7Dp"^Wx  
&mdj)?v!  
　　=sin2acosa+cos2asina 8WW]k  
l BLKO q;  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 'TT5(n0W  
(|'!LrJ>  
　　=3sina-4sin³a s-{+lFr%  
c6+WMp7#r  
　　cos3a $m%[l?%u  
a-LXhB f  
　　=cos(2a+a) 7dcFYmxI  
6h<8u0:  
　　=cos2acosa-sin2asina + v@ikh  
`%(t,|#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa MMn8-6X  
!szSCUw3  
　　=4cos³a-3cosa UM0W w\l  
m-]ahb  
　　sin3a=3sina-4sin³a -[RH,Qeg  
2VC)9*E  
　　=4sina(3/4-sin²a) ]2EBV)~ph2  
),@'af&}H  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Am$a x?  
"&,WODiH4  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Zb84^SBe~  
C>2tN=:/o  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Efy9U`gc e  
| g!s*o  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ZGtLA+  
NB-<+* -  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |w";L{&u+  
52/bP!Emc  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'Dsd| e|  
@RA6  I  
　　=4cosa(cos²a-3/4) M98 DN|N  
vAVB{Iu  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] hTFH0b  
*zX">9r>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Wx'E(A$Sk  
}Yqeu^  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )1} fefn@  
CI+zRtFo  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #|}~Q;@x  
B yCa  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `H^j@TJ  
|Y(\3$k-f  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _7mq!ff}  
5p,`0c/W  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %]{j~)  
SRTk:7pA  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 7a;Ml6/!g  
g&*+XHN?*  
　　上述两式相比可得 mIF*>iy  
l}z,4s1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /3+e)S:   
 -:yyTC  
半角公式 U'~ WB  
}%T(W|2t  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); $Xyb;PRB:  
d}6$hO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -Il+-!Js  
E,"- &C,gw  
和差化积 ~1X_  
U]9b6YdyX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T\nt6^h(~  
;-'X.L+Q+N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IvSpbz  
n<2Ny,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] HaunAlV8<  
Cb3hp wui  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IxUtjQh7  
/G,MG/7s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) a}O@ V,S  
 c1Q.pr-E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1=aU'>!p  
r\}=X0W  
积化和差 I "y* ]I{  
`#U]i$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] NhMk$'16  
OIh5l@l  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %L'CJZ  
v*P$$VS  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  ]*P; U  
k6|S{s-x  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] f'J ETvtX  
9 XM'zj(  
诱导公式 M?=;Qvws  
w2_IOc\  
　　sin(-α) = -sinα .`8+~d5O6  
^ d,c  
　　cos(-α) = cosα 'ENH V^[2  
lSG0Xh  
　　sin(π/2-α) = cosα 57A_F  
qArH:7r?D  
　　cos(π/2-α) = sinα +cGNg[X w  
Fn >HAM8lk  
　　sin(π/2+α) = cosα e6d]%}~K1  
0pe}n>~6  
　　cos(π/2+α) = -sinα %:|~=?8  
M$a0rP  
　　sin(π-α) = sinα @rU|v  
<5{o8 :T  
　　cos(π-α) = -cosα m!6oaX  
,^n\#HXD&  
　　sin(π+α) = -sinα =U\+uw?#  
H)]Xp*wvl1  
　　cos(π+α) = -cosα SzOA<3C  
)+. S  
　　tanA= sinA/cosA G6myH-CdAe  
.'E ]R}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |n),\]h-x,  
Jrtt S;e1_  
　　tan（π/2－α）＝cotα _PGXFH01  
'+`_eJi  
　　tan（π－α）＝－tanα FVF57 w  
5d_G9T`P4  
　　tan（π＋α）＝tanα _]A)g  
03^->F`  
万能公式 zS BFF4A]s  
OSM9k|  
　　 yX-pSgMh  
7d[J=?TXM  
其它公式 ^AxD#v+w  
9(zA+|  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 04VBB_0W  
IM: 5:i6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 qE?xm]'  
KVh!RSNf  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 t=G_ANg>  
*dI[zz;zU  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 w0{.&2_  
@ fs$t"s0  
　　对于任意非直角三角形,总有 Gm)BsdW.  
(=sTzN)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC m:^'rRJ  
nC,{1x*  
　　证: $Z ! M9  
SryS 3aDz}  
　　A+B=π-C Zv}TB@  
.V6-}!C  
　　tan(A+B)=tan(π-C) %7CI Q[  
Ky&O7&JM(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .'; eAxA  
.yMr2QK  
　　整理可得 f|l%_[J5  
fjQl WR  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC AI7qh N  
XOB%Kn#@Q  
　　得证 mL.f2l  
kUwR-/W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 hom.m@ r  
NArDYH\  
其他非重点三角函数 1]lI~ye9r  
U-zuz'?$O  
　　csc(a) = 1/sin(a) vAFh3TSS  
$B9T Qb lB  
　　sec(a) = 1/cos(a) F$ ^j8  
L <>  
　　 = j<[  
W rTwIV.o,  
双曲函数 ^8cQ>h['  
gh 6qbr=0  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 19}9J>@  
392ewWv  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 )I**v~U#gR  
` ( = ~(5  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) R b ecu(r  
I(B^TZ" j  
　　公式一： yoV5WgXt|  
NbJ9$yg  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： m^'5}J  
~G2p4ePe  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -w41Avt$  
O5?Q!!]y=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα vtvY"H{;  
t^ v#l/9  
　　tan（kπ＋α）= tanα }XG;Yy]wS`  
\dIK,Gru  
　　cot（kπ＋α）= cotα MI HFJ`  
MFNJ[T8\"[  
　　公式二： (Ui M]FRkR  
-5AMDj  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： HVq 3`*w  
?Vy >@?Dl  
　　sin（π＋α）= -sinα @>zem!%B?  
3<S&ap=S2  
　　cos（π＋α）= -cosα RsT]DD.r  
LW[`pba"  
　　tan（π＋α）= tanα O6x4uhQy?  
\(-0.73  
　　cot（π＋α）= cotα vEB bX J  
}3BDc/T H  
　　公式三： kw0V7$6&y  
6xF)fA  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^^O Rv=2A  
_Ia6O=V%:  
　　sin（-α）= -sinα _C}ng`Rp  
u7D<'*Sf  
　　cos（-α）= cosα nU (Z.  
# Tc^U}  
　　tan（-α）= -tanα | S=)K YD  
>D1=;f=^  
　　cot（-α）= -cotα 1Y_.  
tp~u??4  
　　公式四： d] &X1jt  
Sg2rD{ >  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： KS6pt{ )  
7]'=sr7q  
　　sin（π-α）= sinα |mY`+E  
;J$!{  
　　cos（π-α）= -cosα IS7r`#=_  
3wTx%#"%  
　　tan（π-α）= -tanα l603]D&  
&1; x  
　　cot（π-α）= -cotα .{N vSLq  
q=Vk8 l  
　　公式五： D7)ahOL  
P7<efN6i  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： M Fhx:Rd  
IB1OO&)2  
　　sin（2π-α）= -sinα ]e1` u5  
HmEzjh^M)  
　　cos（2π-α）= cosα V]j dj  
SvB.T|H  
　　tan（2π-α）= -tanα v-\Z6WU,X  
iXcl&l-  
　　cot（2π-α）= -cotα .T yIj  
Of*@FG$0  
　　公式六： Mk=`:z|-  
8w}iztf@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "oJKX3o7k  
`w BHeXs  
　　sin（π/2+α）= cosα zay tes[  
fLv(VG  
　　cos（π/2+α）= -sinα Cfv{@#"cv  
QJy}Q<"  
　　tan（π/2+α）= -cotα 'qJhQX_:  
E+Q8y5G'r  
　　cot（π/2+α）= -tanα <U&iRFxX|J  
qS!M1>d#^  
　　sin（π/2-α）= cosα +e{1x  
T `Sn@<  
　　cos（π/2-α）= sinα )c^6\:u  
z[^,8hV8  
　　tan（π/2-α）= cotα e Q}c Y-  
qF4o&\p$  
　　cot（π/2-α）= tanα 6z\v#'q  
~&WT?qbf  
　　sin（3π/2+α）= -cosα jZK;K  
t a>%p3  
　　cos（3π/2+α）= sinα LG?MjC[R  
7F/6i2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }yGe  
Ltx3   
　　cot（3π/2+α）= -tanα  o\+_~V@  
K2v5Qg.W  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Ed @Fk1  
@ToKl'CZg  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9GT__Lj  
;T$Ts5L  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ujo hu;  
n JNl<Ed=  
　　cot（3π/2-α）= tanα y"mB1a W  
?~&l_pZ  
　　(以上k∈Z) GrR1@>uO  
;f*4{:,O  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 < OpWY 7/  
j{wojw9W  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pkHgvu4'PX  
R= bl.N  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 'iwCkm  
g"]@ 8tR  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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