三角函数内容规律 .>N_dGo7n
'G0?aE
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. AhR^_ic
vch?OwS
1、三角函数本质: <Ub,A :S
%#&n% yZ
三角函数的本质来源于定义
pBl>Q"v(
LD#70F/,
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 OY8>8*Gi
iCF`
QA!V
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 M-_{}e2?B
mT{z=7HQ
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: Wx]@%a
3i2/O`
推导: <Cd$
R[^$tG
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ARuTz2%
v=)lEO.
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) KG([61}c8
bq~eFP[
O
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
Fs/*O~
%$NtBlz
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *6"//:[
}[}vl%8v[L
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 3N!iu
n!{O~RvH;
[1] JT
tt
eq
Q.K9r/V9
两角和公式 u"x3DXA3
nX;x*
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <NG..
p'RowHHj
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB *CrKR0J?`
N@E}>Z~3
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s4}V#{ p[:
\a_[B
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vNs|PQu
dPJBzxSEe
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &-h<|Ure
m;36P.a;]
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -)yMH}~W
!
Ue;#n
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) Fb83&v"
.N;`$%.!S
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~0m`q)>
7Xes.jc
倍角公式 q[
+
a
v0r0
Sin2A=2SinA•CosA 1>vD@6kY
9?;~cgRd(
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z7E
xCI
K=,yyNtl
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ]}Sl'k+
),&Xv9LEv
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 4ikpwu;%
3^l_|4
三倍角公式 D9'FwC$tO
a"vc$F
55Bo'To
}8F 3v
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) O`x!1 x;
x}/4!9
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uA$u9Sa$C
W"_i6
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) P}jh;qk<~
|GDNCZ
三倍角公式推导 {c8}+u!EQ
4_+YEtvW
sin3a f*SxJl|]
/8:B]
=sin(2a+a) I^u\Q
dTi=+D,
=sin2acosa+cos2asina 2_J+wK=k
)1/$1^
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0]e?<oSf
d@Q%@Kn*:
=3sina-4sin³a fmU"}`i
w`x`[D|
cos3a d*/.D/I.P`
EmT:{O$
=cos(2a+a) BvY~vS(
tvaA#@B
=cos2acosa-sin2asina uIWk;?Y%+
^AhJ}@+`r
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <dR70L|h
)xPX[dv()
=4cos³a-3cosa O q;PHRq
3uO/nL@
sin3a=3sina-4sin³a X%b/ iB46@
qt(;M"
=4sina(3/4-sin²a) [)u3:X`
&;\BR4Di
=4sina[(√3/2)²-sin²a] z$b3~y7/
9`
W8uf0
=4sina(sin²60°-sin²a) oeTItgI%
h3WmqJ
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ;n'!|iu
-H\hN(Qxb
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] <igUFns2
Sc@oP-
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 'Dbyy zN
oHe)J0TY
cos3a=4cos³a-3cosa mG2Vll
i@>|mNGT
=4cosa(cos²a-3/4) m.s'\==#U
yYur#E7'
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u`q~('Z
p6q-aiRS
=4cosa(cos²a-cos²30°) wKk**e09
') r O}
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Fs O
JCMkN)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} x(i=;|
n37imGn3
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) W?`;1'f.a
Dt*?zl$Mu
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] NQXqb\@
_fD_^j
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] pa$.(3\.
+@
qNaIxJ
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) i3'+&iN/
r&w {
上述两式相比可得 ^'~W>y,
3@P
uas(f
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^r?
4a
<|Z~iQY
半角公式 |%2kla
C\Hxf
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +)/8EaxeT}
tks
4{5i!
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. R{^aT:jy:
V@*=U[&
;
和差化积 0q| %1.Z
tdgPW/vl
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :myso2a;
<u6%L[_3=
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cHGbOxU}
umG0a"
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,GAx~\}m
7*LB1wd
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cX,JH6B%
4<eP}t;
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 4o4yK6=T2
8J}fhCz
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6(>Te-\M
$3zlHdOoX4
积化和差 JAL
unbpd
^.W
Z8$
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] bm!` J
PN
j\N1
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] E'4(7u~{
RX7
)Qu
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ni0]>"p
H;#cz!)VT
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?J;DVh:
P
.2Je&/E
诱导公式 J
3
?up
Yw?lO_
sin(-α) = -sinα "JHgC53\
x[n`t^6h
cos(-α) = cosα R9_~'5d
-j|3jz
sin(π/2-α) = cosα jCrHE>[g
Y;/]~Az
cos(π/2-α) = sinα Bl\l) h
1-mdiE)!>
sin(π/2+α) = cosα r7Pz -h1!
RJ:ah*gl2
cos(π/2+α) = -sinα !2r9C](
oZ-;amxB
sin(π-α) = sinα .uY\0*U.Zb
3xVGnv6
cos(π-α) = -cosα fk2x=P4 2
] "Iz)01
sin(π+α) = -sinα B9v
t%#{
o<<jo
cos(π+α) = -cosα vc~`f~N
M8V/>
tanA= sinA/cosA t0/4~/
=]it^h
tan(π/2+α)=-cotα 4OzXq^<{E
+#%]8
=
tan(π/2-α)=cotα ?U| C
a{OO-C1%
tan(π-α)=-tanα v` htOi
j_AP30E.k
tan(π+α)=tanα n(a(^m.|
/W~<
万能公式 H#>` aQ
]>E>[[sr
C6&}[Q]:X
hfC5j
其它公式 f"Ay
O{
f SKi
(sinα)^2+(cosα)^2=1 l?,~DY.<
R r*J)uO
1+(tanα)^2=(secα)^2 Z8(G1a^
6p4[Z>a F
1+(cotα)^2=(cscα)^2 -o=;q/Zc
ux[k+,
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 b'9_n
1,S
g>TYY&EN
对于任意非直角三角形,总有 \f%/z$F:
z#!P\':E
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l60hnG+Lh
'RN9HHO
证: ~ANm}U
\|({J;
A+B=π-C w[(2cpa
nh N4)Ooj1
tan(A+B)=tan(π-C) |xJO4r
lU3B{lN5
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) jz!;\)N3
%UyM|7Y
整理可得 a kEIo n
`US{
*O0Os
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]~5}k)
iamKC3J{;
得证 euy%B)/E
B7g#i\g
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7f%oQ?*/j
7m23Iz
其他非重点三角函数 ,D/f\<0+q
WBO4Moo|
csc(a) = 1/sin(a) 2Bm 8m3
*h[N^5#G
sec(a) = 1/cos(a) ?PV*8( h
`PLSO;1r
?VG>sWrw5v
B(Dg%CGgb
双曲函数 fu:p5PP8
Dj`uP~b
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G1t_8hfjC
M Q8M
Lm
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C ((3B"
+QOuTNi
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ; V&)EK
91w$]`-I
公式一: 2apS/D\'
^KM>Ok~
H
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: \)m(az
1}
).} J
sin(2kπ+α)= sinα lt&|Xb^U
qxXpDIA
cos(2kπ+α)= cosα {zXpgI!p_
YtWaXV
tan(kπ+α)= tanα -kuX?=
rX%AFow@$
cot(kπ+α)= cotα !)'/UOG
:k^%Pf
公式二: W^9A9na(r]
34!~J 2B
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: zZ CTcx.n
fvh m:#
sin(π+α)= -sinα 0<P-M6
_e~{21@q
cos(π+α)= -cosα H4b\ L*$ZZ
;}K&d
T
tan(π+α)= tanα j@<q5%m
$wLMxp`k
cot(π+α)= cotα F,pl4n
{X|MXKz
公式三: B+N,nPz;Xy
6.R.MHXA
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 3VxX4HS
{`\Kt`r-W
sin(-α)= -sinα _]-'4RG$9
p,_6g|c
cos(-α)= cosα [R i Kz
6J@k'D{
tan(-α)= -tanα V#Te&-X3
43<:+G
cot(-α)= -cotα Rj!UPrRr4
F<KG+B
公式四: jxBF+xb2"
%r!
3$s
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: wNyt+,X.A
1T
o8.=^
sin(π-α)= sinα =/I5x)m
9!SO6
cos(π-α)= -cosα y/J[3QX
/At?j,(0g
tan(π-α)= -tanα 3|B2GL@
~";"!*-NM
cot(π-α)= -cotα S#\{t&Y#
e3%iFI zk
公式五: X!r?6Lpy/
'}X1,u{
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: y[$]0l
rz
<p x\w
sin(2π-α)= -sinα G9[
#i4m
ha-U,]o{
cos(2π-α)= cosα {4,u;DP!
BW=:Ro
tan(2π-α)= -tanα \D)AI
L!A:Jygt*
cot(2π-α)= -cotα 0J
<-oS*n
\to_$J
公式六: )NwKa
'?Xbl/ E+G
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: #qv+
<%@
7M#?v`+%
sin(π/2+α)= cosα St_UVMf1
O.d aBIEjC
cos(π/2+α)= -sinα LG'25k
HWZ/_ mL3
tan(π/2+α)= -cotα IP3NuH
M? Z!5w
cot(π/2+α)= -tanα l9(B34
t'WcXoQ2M
sin(π/2-α)= cosα }9[sIE5v
}H'7j}$+
cos(π/2-α)= sinα 7>oG#c.^
sR9vub;T+
tan(π/2-α)= cotα W'knecxAx
:[@=D=Lr
cot(π/2-α)= tanα p1!&~6<V
;G,^
r
sin(3π/2+α)= -cosα 9vLt`*yE
z8%i#\!mS
cos(3π/2+α)= sinα +=RYfb
Vh_a g,3'
tan(3π/2+α)= -cotα C|pZ;D !j
?}$=l<,:
cot(3π/2+α)= -tanα Z-43qMp#Fy
*7|{PSjb
sin(3π/2-α)= -cosα Y~}Ps]ff%
#_S7GkfJ
cos(3π/2-α)= -sinα zlMW UEu
9sAjf Q
tan(3π/2-α)= cotα =ntJA !^
Y';[/Z';
cot(3π/2-α)= tanα Rz!d<5&C
n#u/d8
(以上k∈Z) M:,ePF
yuq>ebb
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d*<PFM
MdWZ;NZ
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5i&{AQNz
K
0 !X
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } WR_hmILct
?i/',;d
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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