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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 .>N_dGo7n  
'G0?aE  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. AhR^_ic  
vch?O wS  
  1、三角函数本质: <Ub,A :S  
%#&n%yZ  
  三角函数的本质来源于定义 pBl>Q"v(  
LD#70F/,  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 OY8>8*Gi  
iCF` Q A!V  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 M-_{}e2?B  
mT{z=7HQ  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: Wx]@%a  
3i2/O`  
  推导:  <Cd$  
R[^ $tG  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ARuTz2%  
v=)lEO.  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) KG([61}c8  
bq~eFP[ O  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) F s/*O~  
%$NtBlz  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *6"//:[  
}[}vl%8v[L  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 3N!iu  
n!{O~RvH;  
  [1] JT tt eq  
Q.K9r/V9  
  两角和公式 u"x3DXA3  
nX;x*  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <NG..  
p'RowHHj  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  *CrKR0J?`  
N@E} >Z~3  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s4}V#{ p[:  
\a_[B  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vNs|PQu  
dPJBzxSEe  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &-h<|Ur e  
m;36P.a;]  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -)yMH}~W  
! Ue;#n  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Fb83&v"  
.N;`$%.!S  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~0m`q)>  
7Xes.jc  
倍角公式 q[ +  
a v0r0  
  Sin2A=2SinA•CosA 1> vD@6kY  
9?;~cgRd(  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z7E xCI  
K=,yyNtl  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ]}Sl'k+  
),&Xv9LEv  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 4ikpwu;%  
3^l_|4  
三倍角公式 D9'FwC$tO  
a"vc$F  
   55Bo'To  
}8F 3v  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) O`x!1 x;  
x}/4!9  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) uA$u9Sa$C  
 W"_i6  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) P}jh;qk <~  
|GDNC Z  
三倍角公式推导 {c8}+u!EQ  
4_+YEtvW  
  sin3a f*SxJl|]  
/8:B]  
  =sin(2a+a) I^u\Q  
dTi=+D,  
  =sin2acosa+cos2asina 2_J+wK=k  
)1/$1^  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0]e?<oSf  
d@Q%@Kn*:  
  =3sina-4sin³a fmU"}`i  
w`x`[D|  
  cos3a d*/.D/I.P`  
EmT:{O$  
  =cos(2a+a) BvY ~vS(  
tvaA#@B  
  =cos2acosa-sin2asina uIWk;?Y%+  
^AhJ}@+`r  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <dR70L|h  
)xPX[dv()  
  =4cos³a-3cosa O q;PHRq  
3uO/n L@  
  sin3a=3sina-4sin³a X%b/ iB46@  
qt(;M"  
  =4sina(3/4-sin²a) [)u3:X`  
&;\BR4Di  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] z$b3~y7/  
9` W8uf0  
  =4sina(sin²60°-sin²a) oeTItgI%  
h 3W mqJ  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ;n'!|iu  
-H\hN(Qxb  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] <igUFns2  
Sc@oP-  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 'DbyyzN  
oHe)J0TY  
  cos3a=4cos³a-3cosa m G2Vll  
i@>|mNGT  
  =4cosa(cos²a-3/4) m.s'\==#U  
yYur#E7'  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] u`q~('Z  
p6q-aiRS  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) wKk**e09  
') rO}  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) FsO  
JCM kN)  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} x(i=;|  
n37imGn3  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) W?`;1'f.a  
Dt*?zl$Mu  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] NQXqb\@  
 _fD_^j  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] pa$.(3\.  
+@ qNaIxJ  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) i3'+&iN/  
r&w {   
  上述两式相比可得 ^'~W>y,  
3@P uas(f  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^r? 4a  
<|Z~iQY  
半角公式 |%2k l a  
C\Hxf  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +)/8EaxeT}  
tks 4{5i!  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. R{^aT:jy:  
V@*=U[& ;  
和差化积 0q| %1.Z  
tdgPW/vl  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :myso2a;  
<u6%L[_3=  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cHGbOxU}  
umG0a"  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,GAx~\}m  
7*L B1wd  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cX,JH6B%  
4<eP}t;  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 4o4yK6=T2  
8J}fhCz  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6(>Te-\M  
$3zlHdOoX4  
积化和差 JAL unbpd  
^.W Z8$  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] bm!`  J  
PN j\N1  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] E'4(7u~{  
RX7 )Qu  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ni0]>"p  
H;#cz!)VT  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?J;DVh: P  
.2Je&/E  
诱导公式 J  3 ?up  
Yw?lO_  
  sin(-α) = -sinα "JHgC53\  
x[n`t^6h  
  cos(-α) = cosα R9_~'5d  
-j|3jz  
  sin(π/2-α) = cosα jCrHE>[g  
Y;/]~Az  
  cos(π/2-α) = sinα Bl\l) h  
1-mdiE)!>  
  sin(π/2+α) = cosα r7Pz-h1!  
RJ:ah*gl2  
  cos(π/2+α) = -sinα !2r9C](  
oZ-;amxB  
  sin(π-α) = sinα .uY\0*U.Zb  
3xVGnv6  
  cos(π-α) = -cosα fk2x=P42  
]"Iz)01  
  sin(π+α) = -sinα B9v t%#{  
o< <jo  
  cos(π+α) = -cosα vc~`f~N  
M8V/>  
  tanA= sinA/cosA t0/4~/  
=]it^h  
  tan(π/2+α)=-cotα 4OzXq^<{E  
+#%]8 =  
  tan(π/2-α)=cotα ?U| C  
a{OO-C1%  
  tan(π-α)=-tanα v` htOi  
j_AP30E.k  
  tan(π+α)=tanα n(a(^m.|  
 /W~<  
万能公式 H #>` aQ  
]>E>[[sr  
   C6&}[Q]:X  
hfC5 j  
其它公式 f"Ay O{  
f SKi   
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 l?,~DY.<  
Rr*J)uO  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 Z8(G1a^  
6p4[Z>a F  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 -o=;q/Zc  
ux[k+,  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 b'9_n 1,S  
g>TYY&EN  
  对于任意非直角三角形,总有 \f%/z$F:  
z#!P\':E  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l60hnG+Lh  
'RN9HHO  
  证: ~ANm}U  
\|({J;  
  A+B=π-C w[(2cpa  
nh N4)Ooj1  
  tan(A+B)=tan(π-C) |xJO4r  
lU3B{lN5  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) jz!;\)N3  
%UyM|7Y  
  整理可得 a kEIon  
`US{ *O0Os  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]~5}k)  
iamKC3J{;  
  得证 euy%B)/E  
B7g#i\g  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7f%oQ?*/j  
 7m23Iz  
其他非重点三角函数 ,D/f\<0+q  
WBO4Moo|  
  csc(a) = 1/sin(a) 2Bm8m3  
*h[N^5#G  
  sec(a) = 1/cos(a) ?PV*8( h  
`PLSO;1r  
   ?VG>sWrw5v  
B(Dg%CGgb  
双曲函数 fu:p5PP8  
Dj`uP~b  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G1t_8hfjC  
MQ8M Lm  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C ((3B"  
+Q OuTNi  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ; V &)EK  
91w$]`-I  
  公式一: 2apS/D\'  
^KM>Ok~ H  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: \)m(az  
1}  ).}J  
  sin(2kπ+α)= sinα lt&|Xb^U  
qxXpDIA  
  cos(2kπ+α)= cosα {zXpgI!p_  
YtWaXV  
  tan(kπ+α)= tanα -kuX?=  
rX%AFow@$  
  cot(kπ+α)= cotα !)'/UOG  
:k^%Pf  
  公式二: W^9A9na(r]  
34!~J 2B  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: zZCTcx.n  
fvh m:#  
  sin(π+α)= -sinα 0<P-M6  
_e~{21@q  
  cos(π+α)= -cosα H4b\ L*$ZZ  
;}K&d T  
  tan(π+α)= tanα j@<q5%m  
$wLMxp`k  
  cot(π+α)= cotα F,pl4n  
{X|MXKz  
  公式三: B+N,nPz;Xy  
6.R.MHXA  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 3VxX4H S  
{`\Kt`r-W  
  sin(-α)= -sinα _]-'4RG$9  
p,_6g|c  
  cos(-α)= cosα [R  iKz  
6J@k'D{  
  tan(-α)= -tanα V#Te&-X3  
 43<:+G  
  cot(-α)= -cotα Rj!UPrRr4  
F<KG+B  
  公式四: jxBF+xb2"  
%r! 3$s  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: wNyt+,X.A  
1T o8.=^  
  sin(π-α)= sinα =/I5x)m  
9!SO6  
  cos(π-α)= -cosα y/J[3QX  
/At?j,(0g  
  tan(π-α)= -tanα 3|B2GL@  
~";"!*- NM  
  cot(π-α)= -cotα S#\{t&Y#  
e3%iFIzk  
  公式五: X!r?6Lpy/  
'}X 1,u{  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: y[$]0l rz  
<p x\w  
  sin(2π-α)= -sinα G9[ #i4m  
ha-U,]o{  
  cos(2π-α)= cosα {4,u;DP!  
BW=:Ro  
  tan(2π-α)= -tanα \D)&#AI  
L!A:Jygt*  
  cot(2π-α)= -cotα 0J <-oS*n  
\to_$J  
  公式六: )NwKa  
'?Xbl/ E+G  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: #qv+ <%@  
7M#?v`+%  
  sin(π/2+α)= cosα St_UVMf1  
O.d aBIEjC  
  cos(π/2+α)= -sinα LG'25k  
HWZ/_ mL3  
  tan(π/2+α)= -cotα IP3NuH  
M? Z!5w  
  cot(π/2+α)= -tanα l9(B34  
t'WcXoQ2M  
  sin(π/2-α)= cosα }9[sIE5v  
}H'7j}$+  
  cos(π/2-α)= sinα 7>oG#c.^  
sR9vub;T+  
  tan(π/2-α)= cotα W'knecxAx  
:[@=D=Lr  
  cot(π/2-α)= tanα p1!&~6<V  
; G,^ r  
  sin(3π/2+α)= -cosα 9vL t`*yE  
z8%i#\!mS  
  cos(3π/2+α)= sinα +=RYfb  
Vh_ag,3'  
  tan(3π/2+α)= -cotα C|pZ;D !j  
?}$=l<,:  
  cot(3π/2+α)= -tanα Z-43qMp#Fy  
*7|{PSj b  
  sin(3π/2-α)= -cosα Y~}Ps]ff%  
#_S7GkfJ  
  cos(3π/2-α)= -sinα zlMW UEu  
9sAjf Q   
  tan(3π/2-α)= cotα =ntJA !^  
Y';[/Z';  
  cot(3π/2-α)= tanα Rz!d<5&C  
n#u/d8  
  (以上k∈Z) M:,ePF  
yuq>ebb  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 d*<PFM  
M dWZ; NZ  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5i&{AQNz  
K 0 !X  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } WR_hmILct  
?i/',;d  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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