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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 oW-x: Ynd  
Q6#gZU  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. TUb^TE?V   
lI='^u  
　　1、三角函数本质： nLl7:Q  
K{J-<sCi  
　　三角函数的本质来源于定义 FY~c~\eD+  
Fa^eV`4M  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 `[o8s+V7  
5Cd7M$R@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2-,~~|!@?  
mK2I6-x c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `dy~ 7;6w5  
Uuln|hA  
　　推导： aeh'Zdxf  
_z9 & \Gf  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Styn\kvXH  
L%H~jHpv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \4o<A x#  
D6x/qoY(!  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) x%*h<UQ  
y,Cve>8  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 bQ`{m=jv{  
&u$ xr{ (  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Fo<)_b  
Dp<^ BgO  
　　[1] E#@c+  
ru [0jy:  
　　两角和公式 \VV w"T  
) VXE O(}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB W39|matLuV  
-3EkY$G$dq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  i,ok{ s]  
qe!3!P>.  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB BLt7dj_"  
h/Z1@qEPm,  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tLWQ[&`Y  
{<X h:$K  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) wa01q.x  
Y+&AS\6OQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &OY+u]x4  
4?g: ) Q+z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -6A;41~nA  
YlGp3-  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) c+^H9"E  
kCnD[:w$'  
倍角公式 Wd:M-P   
b#UI|Hy4  
　　Sin2A=2SinA•CosA t.W2C<I 7  
\L edq*  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 nIQk0}W   
_K/7+QaL  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~>seac}  
I8^MxPW  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7Z7Cx$  
;$4AO&Y)  
三倍角公式 VDJ#;Kk4  
<uTr6_3*+r  
　　 2W[r1>)g]  
yU| q6/ +  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H }'2[ aX  
I|TX>sK  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ) qB(TcTe  
C#7`&sxz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 1]?Z  
(~_mFb "*  
三倍角公式推导 g) n((UZ?  
t8e\h3c<A8  
　　sin3a 6>%!:.l;T  
f(}u(Hs~`  
　　=sin(2a+a) FJ&@<Acl  
Uj[M0N'LV  
　　=sin2acosa+cos2asina m'+-|j  
@$l+0 Bl  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +BNCTt  
Y K{/g\]-  
　　=3sina-4sin³a W<0~W~uD  
EvdS=^r  
　　cos3a <#],9y8-  
kl^ a)H  
　　=cos(2a+a) 80%/ Z4J/  
pgM^C$58G  
　　=cos2acosa-sin2asina liZ:;R.yG  
7mtwPP5^  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa sLZ>|R  
H>c2dj#Q  
　　=4cos³a-3cosa 9: tm,ow  
bs$5 n6uY  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?QV{  
|)r5&?QG2  
　　=4sina(3/4-sin²a) H 9N@  
/=ui+uNa]Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] $426"U9P0  
{*+|AI-G  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 6Evuf]  
tt)D5-,r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \&WbmZp  
/)tQ&  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xTp9K1pSl  
'sk\7`+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )yL=$5Q`  
q@i/!M2T  
　　cos3a=4cos³a-3cosa T|n!n"w~  
lUnqP  
　　=4cosa(cos²a-3/4) a0JZ}9%#  
=GYXqZ{  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 01CRN.<  
+WW+(pGLil  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7VjcAB  
oyW  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (w6@3|n  
-=tX7N=;n  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YlcV=3h  
`NsdS?a  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) F6\BQ.p  
E/Br*8o&u  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +{c a (^u  
-d#cKq>7  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <+~Swk ?,  
J'Z!xNf  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;na\MO+  
XVR !H4~g  
　　上述两式相比可得 *-5 RI  
j?$prn<?s  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8o95gD  
{;K-ka-**G  
半角公式 C7$f^}6  
^pd3I{Rg/'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;}X}yuY  
O}p.@?P7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. c pvc#v/:  
4 Rv@vp  
和差化积 5g5\+$+V  
1(eZ.6z@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %KMV|kP0  
Fx,X5p;"8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1|L *iJY  
^$ F8,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (?xP+  
8Zsk0.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a2nL8e+k  
?NgT,Y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) F}h$#QM  
1e!W/$A  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) >zc@}P+%  
-dOw .4  
积化和差 *=h ^!bYPZ  
iHvgI\#  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] zDF>_`RH,  
v8w42  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sd1z"j'_@  
QbKgW#o3~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] sa{u@;&P  
P_'2^r 0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5>a.aSH37  
p+/ba1dW  
诱导公式 t~l6<*M  
B! uF+}n  
　　sin(-α) = -sinα kW8L y(,Q  
Fo{py1:  
　　cos(-α) = cosα 9|fTuK!  
n=E< "qZ  
　　sin(π/2-α) = cosα ReBmi Mrg  
E)CQtc5X  
　　cos(π/2-α) = sinα t0&nQT:  
hY/.~DiogZ  
　　sin(π/2+α) = cosα je'E&.jBY  
} 9h{Z>p  
　　cos(π/2+α) = -sinα [WJ?[U  
'cCyD.  
　　sin(π-α) = sinα :H}r"U  
jp j=pX+)  
　　cos(π-α) = -cosα jg/{D4"  
ZEA :%=n  
　　sin(π+α) = -sinα $- 7m`5<$  
=$-x}2 EF  
　　cos(π+α) = -cosα d &m=b" J  
;D|$N@OC  
　　tanA= sinA/cosA p0n:4U  
C\n:'{] Z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα F!@GdK\  
Tq!uUWr  
　　tan（π/2－α）＝cotα 44JX/T ,  
>`)#J&F^  
　　tan（π－α）＝－tanα >5zR=0kr(  
dyrs_h  
　　tan（π＋α）＝tanα }o' 3}k~4  
t<VTsF  
万能公式 %.7Y  
w5Az4\ :bb  
　　 G;b oin  
*]wk}_nHi  
其它公式 'HP5\<9[  
y .`ADl:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 g)yapXy>8  
]h|7`wu6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Zy1kX/!je  
Oqq 7 Gp  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 d Fs>NB=!  
Odms[sw8  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 :j94k o  
c ZHZ|? /  
　　对于任意非直角三角形,总有 +mg#s[@  
#Pqvq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M6w3,4\M  
lzN^ Zm|  
　　证: | PBbT  
Pw:u"AF8  
　　A+B=π-C ?K->s>K  
|k}8#T[n  
　　tan(A+B)=tan(π-C) C4w`Yks  
9OOgpOh0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) v8PlF[EZ  
rl#`x;X  
　　整理可得 $wR`mBanm  
py_q*$`V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |s,P^!g8  
)*@XP  
　　得证 AF[x7:K;CD  
BNm@"  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 5 +}C Yf=  
~I@C-`  
其他非重点三角函数 o utur>w  
X X'C@m-?[  
　　csc(a) = 1/sin(a) g#C#Qg|  
OOzL&NJ-  
　　sec(a) = 1/cos(a) O(rc|gH  
NUV'4k4o  
　　 m')+FBX  
:k:qX4  
双曲函数 <)2=7?b  
Bj28!3tA]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x Q96@  
=|zpz2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8/@ _M!  
'qRLIP.<!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) y&}YqZuT  
C7^]9sRuJ  
　　公式一： 93..Zwy?c  
)Gu%JE  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： <C`lI!c>|  
K`hu{3RC  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -f##_1i_]  
9jJs; uO  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 95_D_X*  
)x:?CH0d  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5 Z.&G/@y  
#";i {Fz  
　　cot（kπ＋α）= cotα #`c- i]l>  
4]~<4AV  
　　公式二： _xFn=a\'>  
sKE98I_E  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *l-C u Y  
(*$j R  
　　sin（π＋α）= -sinα 7Qx'm  
cgL$2+[P'  
　　cos（π＋α）= -cosα E|_7B.{~  
-r=~@(7  
　　tan（π＋α）= tanα ;x,{",  
B< GuA&~>  
　　cot（π＋α）= cotα Dkd^p  
0\iqd0re  
　　公式三： Iz``aHb]  
xD,X3cf~\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： IgCLF \MT  
FM_O=n  
　　sin（-α）= -sinα vVro-Y  
gIqZ oVb(  
　　cos（-α）= cosα @j Sy1 F  
RZ+tVatq  
　　tan（-α）= -tanα w-w&eYMZq  
v|odV9 /{  
　　cot（-α）= -cotα iN_2/  
&@* w?# B  
　　公式四： V #}^6  
@(#d-9+\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： cta)B 2Ih  
OdO xE3H  
　　sin（π-α）= sinα ?c95F.(;  
k,zTN9+  
　　cos（π-α）= -cosα S s(qa3}8.  
CE!q6[i  
　　tan（π-α）= -tanα WZ#eD!(1U  
l\`3&<7  
　　cot（π-α）= -cotα m, vWdgtXX  
OGp/m63,  
　　公式五： Q-/=]@N W;  
# Ar 3>e  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： P) ^1u>  
`p:{M0In  
　　sin（2π-α）= -sinα Pe)O|L_;S  
yAB^>H  
　　cos（2π-α）= cosα ~hLc!m|D  
L\B3?gMd-  
　　tan（2π-α）= -tanα $^B!wQ 6  
nAwN +U  
　　cot（2π-α）= -cotα f5]*b]=x  
hG j;H-  
　　公式六： t+k6;b3  
4b<r2(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &+0$8U$o!  
^whRg?X  
　　sin（π/2+α）= cosα .0Wj#kV*k  
_/LgG/x_U  
　　cos（π/2+α）= -sinα QJG8n7U3V  
Z=([$0T@%U  
　　tan（π/2+α）= -cotα QVymH_:=|  
crw  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1P & 2q[  
WRaqG,:5d  
　　sin（π/2-α）= cosα i lOJO  
_xv wT!5\B  
　　cos（π/2-α）= sinα $v_@xu  
Zw+_L}k|  
　　tan（π/2-α）= cotα S :W;"W0  
C(4vV8YQ  
　　cot（π/2-α）= tanα P#|rK8Pv  
V:9BM$7u}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Hx2W'3$gy  
UU(6'eah${  
　　cos（3π/2+α）= sinα RVdC.&QA  
-31NAvRz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα AK"Jis  
!S >J{j(  
　　cot（3π/2+α）= -tanα =W$&jM  
-U~iT$G  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .* Oei  
qTd}5++UE  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 6B0Vi J,  
(_`qQwJ=  
　　tan（3π/2-α）= cotα 'Z^N;\#2  
Q)6dUA q"  
　　cot（3π/2-α）= tanα XbP@9RP[  
 l?9SkF)  
　　(以上k∈Z) 7SN{b`s]v  
-}eRTJ~DS  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 r [tNNW  
faVdWhFj  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  z"&No  
XcMZbg\/G  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ) {|`%_q  
P9,-9~xa6  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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