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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 =;j.S~ 5  
quzZ\}2c  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S~<L  g  
iN q\Z^_uQ  
　　1、三角函数本质： kLwI(We)  
XW.ID.M  
　　三角函数的本质来源于定义 <Q{xnH]  
,k=Z`_ W u  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 }\J 9g`  
fgA+$Oh  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 @|O"} "[&  
g6#.b4{PY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,/p<)?-1  
e^v<sarMp  
　　推导： *Z&rOKoE  
Hag%l  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T@WQx6N<}+  
,9Qvsr^  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) NU"a:T,b  
^RzT L1  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8Fk*$(m  
OP%{u71M^b  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 >"dc 1<  
mZ0=R}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )<yuMV5Wt  
C sK.v_Q\y  
　　[1] Hk` sA#h  
8SY6.Qd  
　　两角和公式 vkCw 5_X1  
zM#\(u-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB .D/@#dO4|  
c!qZ R7'S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "q F5EF  
)R4wDE3]4  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB r >svZlH3  
[6]IHmvi  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g+wRg#0b  
B[&"1qkw  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :rv^`)8<`  
'$J<dS|)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) O>kx;R]>r  
ajYnSYD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I>w9HVi-  
I{3'9 /y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @DAe%vC-J  
7[cgu>  
倍角公式 J8{%,uO  
i1Dk|}*],  
　　Sin2A=2SinA•CosA V4Z1mjL@  
bx0z<!!}  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r~Epm  
H4[O5, p0E  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5 z7luG8Q&  
6/# :h,  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） U3HKg -  
KG#ib.:o  
三倍角公式 PFH<-2  
U!S8 !,  
　　 S{x#^}  
"H%EhJ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) RE#lI^$4 R  
s|we 2kJ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Yi C   
M^-4\L  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 5q[WSeJ$`  
g#$WP D  
三倍角公式推导 OsR G17  
9eV %BnY  
　　sin3a ]Wh'>`q  
H`?AqHQ  
　　=sin(2a+a) H-FLRl=  
V}":pB  
　　=sin2acosa+cos2asina JF''Skla  
[)P:1  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  XThzOe  
18'wNiZur  
　　=3sina-4sin³a -8)Zw+G]  
5\?KR f  
　　cos3a SMsRsvNU K  
fa)",58=G  
　　=cos(2a+a) (5kzp@U  
tRG^4&W7J8  
　　=cos2acosa-sin2asina @\dWM  
gn1&I  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Cs5Y E8  
s8[N^%?  
　　=4cos³a-3cosa Y:a*-~)  
TL;lS  
　　sin3a=3sina-4sin³a ZYjk:t `d  
CZ;>$tbk-  
　　=4sina(3/4-sin²a) N"vpFr  
v~~.Oh#)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .qO _'x X  
o 1Dcho  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /Lw![]0w  
:Lpp*j'qlk  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) zFV{8:  
*lk2a]W2  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =uRtx  
ABQb^uZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ='tuh%  
)C.5#!O  
　　cos3a=4cos³a-3cosa -w=EC}&  
2!xZ{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) kZC&@?}  
:adlp,-D$M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s s%9F~  
mn -KT  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Ng]^W!<ko  
RZY)E$IOm  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) !:sK"Y# V  
`# Tk.}}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} R\5^ 2 Z  
6s&;|cin  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3u$N23'#1#  
|d^Av#?]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] rF@ /vkFj  
p|<27+0F  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] S 7UX17g  
Z0Gb~}  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) vJGoD;f`D  
Cz_!Vj93  
　　上述两式相比可得 >g@op#_1ho  
.e(S~W:a(|  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) q8<>{$  
z&|D4B,b\^  
半角公式 |>r[9;[  
kCBo2S3kT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3ZK:}A[X  
i \ h  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^k>Ctzw+  
W[uV9A3,  
和差化积 Zx My$)  
i qk1xQPW  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 14~9WXZ  
X% hAf;8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FT$ZkL {  
{ [v*O6  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .O:& ]sX  
"Vpsa[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OoD,MS@9)  
iT89_7fT>  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1?SM C3  
8~mkb)T ;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) E rJuK  
Hfm^p 2U  
积化和差 9R=5\0  
jAC.3 -S  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7^[Dx_K  
Y?CQ XZM  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $T<c=*  
yTaQ )  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] A ATs/>F  
6/$^SDK]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ][9R"B5QW  
325Y0Rp#  
诱导公式 g;_|n% }G  
=L%@'Il  
　　sin(-α) = -sinα U{BUj^   
>vJI{{z&  
　　cos(-α) = cosα \M1\,F#f  
U.^8Q~S-  
　　sin(π/2-α) = cosα s?iV5F_  
P^m`:l#  
　　cos(π/2-α) = sinα n,L4m (CJ3  
mDSDXmiH  
　　sin(π/2+α) = cosα 9ywero  
sz}O:{!  
　　cos(π/2+α) = -sinα 4U6    
j&nChg`N|  
　　sin(π-α) = sinα j,~-NFK  
OZd o5g  
　　cos(π-α) = -cosα 37 yd\=]  
+8nZF>&Yg  
　　sin(π+α) = -sinα rM 1ElF^  
[^`G9IF  
　　cos(π+α) = -cosα X RJ6UK w  
%tn#Iwsh  
　　tanA= sinA/cosA {zkGX @;P  
E&SUI=N#  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα e>=35YcD  
/;l|N  
　　tan（π/2－α）＝cotα { $PN 0  
U/;:c*0Aq  
　　tan（π－α）＝－tanα G5 =wY  
s{8B'e   
　　tan（π＋α）＝tanα J.?\BvDZQ  
K|=}C+  
万能公式 0&.M3n  
s8e+{xu  
　　 C1J#4L=x"  
oXk4%b:M  
其它公式 dYp}gj=  
~ 2mE`MG&=  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]dMLs  
`atG`]90U*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 o" RVz, 0  
]SU"W'yF{  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 aE,]0i  
of;< 9*  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N_N(F-Q1~  
^-AuAu5  
　　对于任意非直角三角形,总有 1nz ,*F  
:md@Q }L<~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tQ0)-6 b^  
\*ex@  
　　证: $YF~T{w?  
$N897]  
　　A+B=π-C <74;m3GlyM  
#oA<zEY^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) t$/FAZw  
NEG1V|9*r  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p%s[p&87  
U@}eZ,2  
　　整理可得 F=AOB/y  
,6v~ ;tr  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y-q[@O!}  
QQ1UiC0  
　　得证 Z/ >6FD=  
|JQez13uw$  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 GQsFoz9f(  
[R]|9Vpj  
其他非重点三角函数 c^Nj.g  
tAf! h  
　　csc(a) = 1/sin(a) G:\/G"  
c.dSX  
　　sec(a) = 1/cos(a) Gq(;X{A  
KhQf8u%L  
　　 -EfCo7  
)fd^\6`d  
双曲函数 -2bo!x41  
]IPS>bN:;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 lLJ(/ldv  
J/si7GA[  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C%0F5{Gmp  
_G*f/1 W  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) cC6^-kL  
Fd@=v>+x  
　　公式一： GPGx)0$  
wrTifQf6-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 'M<{k  
\PMjH/R!  
　　sin（2kπ＋α）= sinα k _y]\  
|+YMy Jqn0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα *b!:d0|@  
b9K!$>3=vu  
　　tan（kπ＋α）= tanα nQ^yZ>H  
|g%{]>i,l  
　　cot（kπ＋α）= cotα UUh)=gx w  
d68sllt  
　　公式二： fF6-&+[<]  
5{b ZQH%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： He}i_foXq  
|:"6p7is  
　　sin（π＋α）= -sinα ,8dx =  
Ai>Gh0ZQ  
　　cos（π＋α）= -cosα 4;% uX  
|.C}}e  
　　tan（π＋α）= tanα "m8uKt]{  
yMXMbUP@(  
　　cot（π＋α）= cotα XlT/3d}H  
L? [W:  
　　公式三： }V&5`: qn"  
EFH u)   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： nN_c\ [b  
#nW rw{cL  
　　sin（-α）= -sinα THjdkf~  
oO\e #>wDu  
　　cos（-α）= cosα UtbvF58'IS  
!T+:Q0g  
　　tan（-α）= -tanα l|\a z_T  
+]T@S  
　　cot（-α）= -cotα .]<-#L0P  
9F'7I"  
　　公式四： 9*m$hO)YZ  
G %yM_Ma  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： lKp.|}{#M  
? <UTOTb  
　　sin（π-α）= sinα B;M,3:|+-  
/6'6r#'`5K  
　　cos（π-α）= -cosα 1=7 .+]h5  
1V@b3(E  
　　tan（π-α）= -tanα U][EP#  
d{PMR;t(  
　　cot（π-α）= -cotα  P&'VL:  
He0("5%  
　　公式五： BxOntC~~  
}lk&SqZV  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =FxPe)uy  
' 6-p".  
　　sin（2π-α）= -sinα R7.nL -[l  
esn'tI40v  
　　cos（2π-α）= cosα `l;)C-Yy?  
Y k2zN:z]  
　　tan（2π-α）= -tanα n!1@t:o-  
{tj_v5N1z  
　　cot（2π-α）= -cotα n,|<pV&  
/rf2rS9b  
　　公式六： ="g>r  
d5W %_ i?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： |~X9ZS~  
h(&s}dE$  
　　sin（π/2+α）= cosα V|?_'Y=1  
Tb]t#w"{_F  
　　cos（π/2+α）= -sinα AR>lstQ?:  
{|Fubt\xs  
　　tan（π/2+α）= -cotα L%F00+  
Ch<405 FqK  
　　cot（π/2+α）= -tanα )Z<K;| t  
K!Pe du q  
　　sin（π/2-α）= cosα -ZV>!JL  
kJmYc#Y?`  
　　cos（π/2-α）= sinα cX1t,n  
k)?&_o  
　　tan（π/2-α）= cotα |~_Jy.ASi  
F$O7}WB{  
　　cot（π/2-α）= tanα UX A+ix>S}  
)})*{  
　　sin（3π/2+α）= -cosα tpgX9SkgR  
zS\4$h58  
　　cos（3π/2+α）= sinα ZVMNtbB Y  
HnSs(T+>  
　　tan（3π/2+α）= -cotα J:^/MKx  
'UcGtEs  
　　cot（3π/2+α）= -tanα eQjx=RoB  
,`fK\4 >  
　　sin（3π/2-α）= -cosα {@4O4]$+  
(GQ:I U  
　　cos（3π/2-α）= -sinα "OW</l9]_  
#mUM='C  
　　tan（3π/2-α）= cotα +ar\&'T  
6"1V!bp  
　　cot（3π/2-α）= tanα &eut~}QN&  
V9Oa\/gw  
　　(以上k∈Z) Smh,T78R  
0_A]D]\\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M}2z}[ q  
%/& Yzy-  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = D._QTz5-E  
9_AleRv  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } @ 7|tmb  
Pd/MZ!UaJ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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