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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #%~=0TJ  
qP ]Y6O'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. utKHl3gGz  
nf[.H  
　　1、三角函数本质： U3\f]>G/:  
|.xIg  
　　三角函数的本质来源于定义 +9j1Btn  
q%?A-k6  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 2oWvZP\  
A" 8#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ZR,}^JUq  
]ah/.qd@0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6DaD!%  
/; ?G2d  
　　推导： pZj Pv*Z  
}1H2E#  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 f,M</yR!hG  
pZpm+x  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Jd{x8!5  
:74xv67_jZ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) L%.0z5  
`E_XO ,  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &|7TfHUQX  
jhy~sbi  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6Zi.1_z)9  
C2VjWs  
　　[1] c7 =KDh  
OO>`hl=4(  
　　两角和公式 "*{:477,  
l=eM8TZ_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB At;bz@"  
z^%as'A7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  gLkH:=AGc  
_[ HUAo  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB SJ(_^d  
LEYYI{MS  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB uMmEKmeq  
J@,Q IBO  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) SDP/.n)B  
ozmSC4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) mG2St~tLZ{  
F=xq)R,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  skmW8^iT  
Yr. )sAyu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) te1'OH@  
Fv#8  
倍角公式 .DTf2|  
cew|N`2b1F  
　　Sin2A=2SinA•CosA 'KDa`+E  
yL*H? 7,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Y]_J'/V  
bA y<&.$  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {_Ga)  
^q ]w5tgr<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \#tx6#|O  
ITr}nDaj  
三倍角公式 b/ {e$ ib  
W61V  
　　 h!b08*  
KT4Ir4XaE  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "D.cX'7+zf  
L=8 ~M(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) DZ,.sWNx  
3$xQKv ]  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y}'A3OA  
Zxt CPM,  
三倍角公式推导 am t08|O  
'U6e P#  
　　sin3a LR#*8 1iP  
qHk0RZ#4  
　　=sin(2a+a)  zUZ_OKO"  
m42v~eEb  
　　=sin2acosa+cos2asina DUNXo6S  
Msqj'3J1  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `j%e`-Z9  
|~5AUJ"di  
　　=3sina-4sin³a ' 'fPu@  
el6A;\7z F  
　　cos3a ({}A@,h5=  
bAS*G1  
　　=cos(2a+a) g-B6T)f  
7~#j,  
　　=cos2acosa-sin2asina =oAykQgO  
U u.EWU  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa x%.WgrO  
#&9W.Axne~  
　　=4cos³a-3cosa [g-_!)   
B~`a<CJSy  
　　sin3a=3sina-4sin³a M@!gd}Q3pk  
-vPX,.m  
　　=4sina(3/4-sin²a) ul5uQ  
#_ph6J1{c  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] C"gz{M]t  
O\5uHw>%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >uOrH}h  
N7:2bTiWZt  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) V~9=-TK  
 p]i4ouo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] x^'SJ  
vjm'pN[  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) UrV9F>j  
3ClQjKGm00  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7Bb[C>q  
#r}9z'.(L  
　　=4cosa(cos²a-3/4) +KX+8]Z  
4355WiU  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2(=/{  
#ByjCV[/k  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) SqCX,b  
tTT1?@Hz  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) `NA6G S  
x`TX5T}U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} GUNFadw5  
a:%Do 'v  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {NmTBt1.j  
S] #U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] MPA/AcP4  
Rd>JD6\@e  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] VXs }   
>wF>,#p1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ..H\M  
mXJ,0p];  
　　上述两式相比可得 =ttn:q&^a  
3obBN@4m  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) >%}tW=BR  
;dHR'$l41  
半角公式 RlX$YZ  
} S{#Wfoh0  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 2]EpM5zL|  
mjO -B>"A  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. f/5 ~ZCa  
0uw|u(z  
和差化积 q0:AGg  
_[k %m5  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fB 6z  
p2]ni|R_j)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] pIZIt_a  
_@t"A>S  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Qi\H?_  
iyP&s{wU  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] K#Xf ]h\@  
O 6ObZo^   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) vd5 Xh|  
?JX_xdK  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) AiTC+Pu8  
Ib#7VRtb  
积化和差 =T}qt"`k2  
/XJMmL  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] zM9E_ r (  
UY1X3D*  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] i` .aPj#Y  
46v%?&u-4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] `Zm9sN{  
$-E*cK9.N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wdWRI!S  
<jR`5 [h  
诱导公式 q'%=@/%V  
8NN=b,  
　　sin(-α) = -sinα YAmO(&@  
"q<`q*  
　　cos(-α) = cosα hf3e6Da-  
H(uS%#1S  
　　sin(π/2-α) = cosα $BO$|AO  
s`3 ` :  
　　cos(π/2-α) = sinα =jM=~GY}Z:  
+9HebJoQF  
　　sin(π/2+α) = cosα a$S>CJd  
5&~r*_-  
　　cos(π/2+α) = -sinα >*06X+ ?M  
ZY9K+W|l-  
　　sin(π-α) = sinα ^HB <~aud  
Tt>S!B'a  
　　cos(π-α) = -cosα 8;8$w!N5  
7b<IYgj'  
　　sin(π+α) = -sinα "*A(/TK'[  
8YAv\P6\  
　　cos(π+α) = -cosα YCvc'D   
Df]_{2H  
　　tanA= sinA/cosA :x(t!m  
&_/xVyg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα (AXb_xDIla  
Gl'tqzM  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^ryG7q)7  
P kI2sz8x|  
　　tan（π－α）＝－tanα 7iNkdnc  
$e%& (r`  
　　tan（π＋α）＝tanα )_Hd =  
DZh9.*]{V  
万能公式 OZsZ=x+j_+  
$8M7*d}  
　　 ;Nn!R&hgB  
x^T6 >;@:  
其它公式 t+(^v&aH  
JbNn h#Xp  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 t0j,g@ @(  
Jn! Sa|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )k+j`g*?.G  
A DrT  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $F|Ee;QR{)  
O- vw,=*  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -YR*t uwo1  
!*qj4]  
　　对于任意非直角三角形,总有 XQIL'^ eg  
BXGH DX`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^;4P^o  
C cQ3~N5  
　　证: $^|`%VI  
2 )y HN  
　　A+B=π-C maxl  
H!M |k  
　　tan(A+B)=tan(π-C) p*ps?AYI  
#i!0D 4+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uaVeM{5  
vmFzKPRfz  
　　整理可得 Z^*~ ]>E  
AmN\5R*k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &eyWt||  
{ 1Y>^  
　　得证 xEe?1r0q  
]DDJ!>2^"  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 (tHOz/q  
jTGc>A%  
其他非重点三角函数 E5jF}n XI  
l#g?pW-  
　　csc(a) = 1/sin(a) B!*:tR  
,4`_7Y\"*  
　　sec(a) = 1/cos(a) Q-YK2r  
C$\OZRs  
　　 BGB0G[R;E  
Ymz%hN7S  
双曲函数 H xEtu$s  
PU90B _87  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 SgYfZY}  
K&4&X Lc)C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 s3z`51bZ  
SHE Xs9w1k  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <[0&Z  
Z4_53e_(g  
　　公式一： kE>O 9  
^R!2R=*%;  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ayjZ#,E  
o| utkT;  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Grp<wz^  
[3SYz>Cz8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα C>|#A=m]  
bO^OnZx  
　　tan（kπ＋α）= tanα Mrejo8  
Zm>tO6X3a  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^-9_nF`  
.6(fR}<df  
　　公式二： +6^W(TVI@  
q/j39 >0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,18AiboD  
uI?,4x7M K  
　　sin（π＋α）= -sinα t:FvEO,  
m p|9cx}  
　　cos（π＋α）= -cosα (ikV3@  
LhJ1D-17AP  
　　tan（π＋α）= tanα 16-;4xf  
7(5^g  
　　cot（π＋α）= cotα _NJN;r3~k  
w |s?WJ+6  
　　公式三： ".RxHyk  
shu2@A[y  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： J(8fqz4   
cR::JYn  
　　sin（-α）= -sinα [Q0bgG  
/VioINF}"  
　　cos（-α）= cosα l4B%d;f  
C4LA#ejp  
　　tan（-α）= -tanα :99V}y%  
dN9SecQ_GC  
　　cot（-α）= -cotα $Cv)1n$r  
U61D8a&e;b  
　　公式四： _?a7PW  
VlOw=n S  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $r^JH"  
(xT7&)~  
　　sin（π-α）= sinα K,~3eCO8u  
0,;VLZ  
　　cos（π-α）= -cosα n7u(bai?d  
,:)zXVp^  
　　tan（π-α）= -tanα uFMO3p*|  
J&\%05Pk  
　　cot（π-α）= -cotα &B8YM8/qtW  
luk>HZMZ6  
　　公式五： {guJ: 6  
?7]Et3O`%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 9;7Dh1T  
:2;D  
　　sin（2π-α）= -sinα fTv5:W~  
Oaf8D&}Eh  
　　cos（2π-α）= cosα n+m`0By  
&\/\)-}5^  
　　tan（2π-α）= -tanα `X#u{G^  
ZRSX|]K(  
　　cot（2π-α）= -cotα H_ Q0f+8  
{1GFCpjN  
　　公式六： H!:6=I7D]  
RUtNGb  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ! oik`&  
#4^ARKc$  
　　sin（π/2+α）= cosα 32Bb]}  
TD53^s  
　　cos（π/2+α）= -sinα I9t= UF  
:=?]wko|  
　　tan（π/2+α）= -cotα .JV ).~(`L  
6 1QmvO  
　　cot（π/2+α）= -tanα {WPMlaY>  
yeN780  
　　sin（π/2-α）= cosα Eci`CG7[M  
5F,e  
　　cos（π/2-α）= sinα XVp J+(b-k  
't/ep,'vCK  
　　tan（π/2-α）= cotα f4 /SS#  
wQ}kP*8G\  
　　cot（π/2-α）= tanα o ~X ]l8  
gb]^8Dr+|-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα r.&JVd-4  
A\^f[aGQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~XJ+dU  
kh&pUV"/  
　　tan（3π/2+α）= -cotα DF =tqNkan  
b+p<g9M  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ?wrN%2UM  
rG@EX>*Qr  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -6e&@ #  
SUf<y =]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ZKuG\OU  
?h mr'  
　　tan（3π/2-α）= cotα 'aw@X gH'  
q* e.>g  
　　cot（3π/2-α）= tanα bB3,Bck  
6ALcp-*l  
　　(以上k∈Z) aBjQs1:  
cGbY<ywHE  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {i_xfG  
*df>9J=   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *'Qe6i6a  
j1V!2gvL1  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Shv*,THn[  
7X Gu  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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