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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 w ]^.:  
uM'Ecr( 7  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Kq.U?$  
4hg}${  
　　1、三角函数本质： qA76Qgw=#  
Z"qpe4  
　　三角函数的本质来源于定义 ~u-2@Z-o  
kn*XISS/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 K]5d)`  
mE|-lKqm  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 06 OaLu  
DOKzwd$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： s2z<U+F+Y=  
_AL 5p  
　　推导： NaC =k&  
V{]t ()  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 uw51I{j  
?kD83  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) nE2oav m  
H0r wJV  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) <DNVhxiG  
q2xTXS,(Z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 LO `4SM  
$Es"1;{"Q  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 2I^houb  
PPjNI!R  
　　[1] kB[N*vZ3  
'LY &oQaT  
　　两角和公式 JTW%~_lZ)  
v,NkS?Nb  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (Y;Qc9{q6  
=} dm  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  p=$8DJ.  
qG(w A}  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB o]T;&,{z  
vbx$Gl#  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Id4G.W?  
FK&so I  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kh9p"`v|  
y=C(I3ZS  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]NB| t  
"n^"Ur(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Vhe '*$u  
 EE8{Am  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) h=UyBQPm  
%l^v}I  
倍角公式 HRyL(aU  
vNZ~^@}zO  
　　Sin2A=2SinA•CosA +:J0y*$  
 noq7i6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 $(k\07ci  
knE9  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .8!J|!+  
n)Ud  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） U/%c?TL 3L  
A s\S\@  
三倍角公式 ;f+^V$]<;  
LRU\p c  
　　 [1D\U9  
_4MuaZ~  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ^ kN8pN%4  
_?a\wjtO  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) :y~F/N  
(]Wj@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 1"mMCr~KTm  
2?q4OKj  
三倍角公式推导 Os.W ]  
m^SUPU+  
　　sin3a 8 8)*y  
'-Akn>  
　　=sin(2a+a) Y^q^`$K  
:r'BJs  
　　=sin2acosa+cos2asina  3t*0V  
L721kHo  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina QO=jSlM1]6  
(I")k*;n  
　　=3sina-4sin³a #)wA&[ u  
|_)@FjK|.  
　　cos3a &~ iVp!gw  
jwTg` D?  
　　=cos(2a+a) <&u* r!w  
$LR?,  
　　=cos2acosa-sin2asina nZ]?pi&a  
 6)},6 1  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 9}+iz{XWB  
i1[WKIi  
　　=4cos³a-3cosa z>V{4@DpL  
Z.6n:A5<  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^P9c^[^!  
Na}09=Xj  
　　=4sina(3/4-sin²a) MlwpF =  
E?7y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j}_=D  
T[_sy8Um  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Zp.[ I\H  
/S q69"9"u  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) TD)c  
vqbdpIKI  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VbN-IM  
{M4%HH#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %X2Z-C]7  
V XzN)1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Mp+nQ+\ :  
hjOLg0fM  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >}36 \ |(  
1i/Q _h  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]  0/)g"i  
U/B fx  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .] i Z+!  
#Zq$m!8pI  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Y,eTnY3t  
'_P)i71  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xTD$uV3U  
'k:=8K+a  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ~a/1  
]%8na  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] tDX fQwQ  
dz3$o~uS6  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X)IxcGh  
o[U5zF->  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6;us<I.  
XoF r]LS.  
　　上述两式相比可得 !kC MPW`  
^#3I!#=b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) I07:TA&o`  
v"oMX._  
半角公式 DQd.g ^`  
3'!9[  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }+ UTT(FjU  
T_R^\Vg  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 5"xi~<Jh  
SGWb1Cj>W  
和差化积 EE,7 b  
Y^2<Xi n8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h$CH, o%N{  
~[tH#Z3]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'z:Mc.v>V  
t q{'$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7}O;   
]On4fC!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] f[VT4'H q  
iN,[E.  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) B$Be4  
ut 3 (G3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hu]#a{/D>  
<\}auG  
积化和差 OsYRGml  
H"44, =M g  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] BShGy ,M  
a'g3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vL]M/p  
ug!h)X6,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] W{ R[ Lj  
Luy{U:@),  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] dEgz!(m  
kPU?:]>  
诱导公式 > anMU*xL  
<z'Hw_WLd  
　　sin(-α) = -sinα `2Nx3C  
HW7 V.Xf  
　　cos(-α) = cosα >l^#~KB[  
`5kBZrCv[  
　　sin(π/2-α) = cosα `-q4Un'+[  
S}ajY/g:+  
　　cos(π/2-α) = sinα S!Gb;IB]  
sH()/f] I  
　　sin(π/2+α) = cosα RvyslC$ *  
eq2 Ai~DL  
　　cos(π/2+α) = -sinα D^3ZtOA^  
v&HOBL`x  
　　sin(π-α) = sinα ,0gv\uEt  
rerx-;x  
　　cos(π-α) = -cosα e}pZ b$o  
PG&t]/5p5  
　　sin(π+α) = -sinα iz%*9tAp  
3\ tAx@  
　　cos(π+α) = -cosα uXeL,!0?#  
~\:?.)jFn  
　　tanA= sinA/cosA wUp/,{  
,Y,\*otES  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 6)cy@e  
7Q#`|6S@  
　　tan（π/2－α）＝cotα ev~m-@2  
HLEpsx  
　　tan（π－α）＝－tanα 4m\EtlH  
M*+ta  
　　tan（π＋α）＝tanα $5b@R|  
D`qn].^79  
万能公式 ~-ox/  
'z uhpU  
　　 +#mFZZ^  
3 kBu G} [  
其它公式 |e;Sox<  
r#cZ>T!6D1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0,}CO08(  
r-pA,$I2"  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 y*3`( m=  
h}Wo&#|  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 p{}W3o%R#  
8\ 47MF3U  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Tu7 OC9%  
@Bmr_,\  
　　对于任意非直角三角形,总有 uk9KnMGYs  
LrU.Q_U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Xnqz%ptt  
|Cx[K-?  
　　证: +hqnVk  
4RC5!_   
　　A+B=π-C tFU"(}Rk  
8oKoF%?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) )OIUIUMq<  
d E)k!QEb  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ip{S'#R  
a]POU3Kk  
　　整理可得 <1D9f:rh>  
gi( *d_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9l C(a6b^  
[\M. u=  
　　得证 w"Z=m?2)P  
qRq@ N"  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <sa9 rSb;  
a A E1E?)  
其他非重点三角函数 0 3K]  
[G~oKwL_  
　　csc(a) = 1/sin(a) 8aXO/VHU$  
/4 x>F  
　　sec(a) = 1/cos(a) {f2tgu0  
>e,EyM@AS  
　　 G8$|#4"  
L'>DU <Y  
双曲函数 1fY~w#$  
A/~3.  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ZL>BR  
tV~[`L  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "1}pWd!  
G.qz\+\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) m_b^R(xM'  
@t|i$u Y  
　　公式一： Li<nr\C)  
pV&kCh  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： <6/QBg8M!  
nbXv]\_  
　　sin（2kπ＋α）= sinα r}2C AgkKE  
eGv5_U=DE  
　　cos（2kπ＋α）= cosα t~D53sr  
x [C<M*C  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8^-5LI@]  
@Qfsloy  
　　cot（kπ＋α）= cotα #|dyunO3:z  
 h&]f&aC  
　　公式二： (>x*\;<6x;  
my/E_(:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： oM"_`?Z^P  
C2pg}LkG:  
　　sin（π＋α）= -sinα {8v\Xp  
@O~QFJL>E  
　　cos（π＋α）= -cosα Js'])U.  
TS~)L3Sem  
　　tan（π＋α）= tanα 0G2q#)  
K8  6m?<  
　　cot（π＋α）= cotα &qF:rX'W  
.4u*i$)',  
　　公式三： EV}A*G3wu  
dx6`Mr~T  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： AJW~I(YS:  
8p%MY)igD*  
　　sin（-α）= -sinα 6 ; 08  
qUO_a=9ay  
　　cos（-α）= cosα >OUZZ,Ybb  
Tmw|jiay|  
　　tan（-α）= -tanα - m|Tng=  
_>{G {e@  
　　cot（-α）= -cotα ~q{eteAH  
u|ddys,np  
　　公式四： NOkCoW  
Fu}(UPeX  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： VCC+{+ZZ  
r`Jocn  
　　sin（π-α）= sinα [JZuJ_22f  
q 7:0_]  
　　cos（π-α）= -cosα 0oVi(gr)nW  
3X'1)Y  
　　tan（π-α）= -tanα e9P)F0q  
DCv"u  
　　cot（π-α）= -cotα t*7?FP<m  
Av l6bo*z  
　　公式五： _59g7iB  
<Vfem&X#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： !}JpA5  
X{.HC S  
　　sin（2π-α）= -sinα J+n]*#  
7T69bl  
　　cos（2π-α）= cosα &@k `%J\  
kYR?Y/b l  
　　tan（2π-α）= -tanα ]"xls  
+Y DrG8D  
　　cot（2π-α）= -cotα _ )}at0+  
7 R\.]jr  
　　公式六： i< e9>=$+  
w6 ]nu>fAn  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： er>8~z  
 2<OmoA  
　　sin（π/2+α）= cosα 0T;Y4W>  
2 {gMXc>  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?&[cq{bOIi  
^Bog+ >T  
　　tan（π/2+α）= -cotα Y6[HpXiY  
Y`<J(L7%  
　　cot（π/2+α）= -tanα ",I'v(W  
B # 9 V;g  
　　sin（π/2-α）= cosα Qj+Demv  
 MqfT  
　　cos（π/2-α）= sinα xL+]m u{  
eTIUDQ?7  
　　tan（π/2-α）= cotα t$ZTb ?X  
J3<8nk FG{  
　　cot（π/2-α）= tanα ;"C~UWq  
W5%#CB;>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 'u+ {(g@  
Qwhqi7Nc  
　　cos（3π/2+α）= sinα \^\~Q0 ^  
U(P=Nme@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :6) .H|  
N Sb \m  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [$E1 K#Z  
gi}Lj$F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα U-aa2*[&O  
'ZUay _  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N@seRmW 9  
[zG;42L.  
　　tan（3π/2-α）= cotα iV?'P/ i  
rLx;kwag%  
　　cot（3π/2-α）= tanα X,NUJ"  
&?9fI  
　　(以上k∈Z) Y,q~1^G]  
O@RR%J;kb  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 `2VT9T3{T  
KK_{<82%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /b^LN2`  
:<&&SW  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &CySsm]OW  
a KLlw\z  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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