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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 B%OwAn]  
1 4dn  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. JUw7%h%#  
!jn,b1kXm7  
　　1、三角函数本质： m'}}pV.O  
pK{d;Q  
　　三角函数的本质来源于定义 WJOP99vW  
yq*4G%A'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 LyQx'}j7{\  
19IUCqu&}  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Gx O[27oA  
\8=Mz]6@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： {;xYNMU  
=j^\O'>Sj*  
　　推导： l$}' =V>^u  
s.<p`?  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 p~e"V.'Y  
q-@S`}V  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \T49|Ub?  
`t@gv&:H  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) IHgYcj,  
dg"sg  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <y" } 8#Mi  
,&]|#s?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _:7vdS/  
Ie"~W;,  
　　[1] rA3aa8v8  
(=24~Y  
　　两角和公式 * w]fVf  
~P*y:48  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vK _P`vB  
OS4!D2Bej  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  L;x $2Gr  
q D,Cr,  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB nG_Y  
'^wS{"@-  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a>*`QEZ\  
n3 =f3lQr  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) e_-w ,h  
q|[l}D  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) KLLAy'Vhid  
ZoDSxY>a  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `dKid 8h{v  
:O]I8]j,^  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @aCN,:V?  
&8XW%+5dv  
倍角公式 2,zimzP  
=9(8wfEa  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2g*w  
.@ev sE9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ZMWmgo*  
~Ih GMLU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #gY.Ka[NE  
#oMe\]  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） AbsL C  
k,[6bymo  
三倍角公式 NW~eU&* &  
ahZu!:Q]  
　　 5 1N*?O  
poSFPz  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =PM 5Iy  
cr+ h|oW5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) GmoYE][  
}5LG| BN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .%lHq%35;  
=D+WXjeN!]  
三倍角公式推导 Q>\+H   
ais" a#  
　　sin3a Oi 0]9  
jd5Jd&[,$v  
　　=sin(2a+a) >S7D.<  
w\0m+vo  
　　=sin2acosa+cos2asina 17,r^j:e  
#Yk`v-}W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8hE=^  
DI@U"O'l1  
　　=3sina-4sin³a 9@7+n_  
<| cgaQ&  
　　cos3a h.%?+&CJ  
?*#}rCwr  
　　=cos(2a+a) F$ =xZ2q)  
!x VHnjP|  
　　=cos2acosa-sin2asina dR7FOJX  
Nmq*)q=_H  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa x!KFSdM~a'  
6_u4 #<%n  
　　=4cos³a-3cosa $@VO/RD4b  
lERWIxe  
　　sin3a=3sina-4sin³a pFyOZ/NP\  
f5 d -U_  
　　=4sina(3/4-sin²a) aN0lS?=4  
G'JNg-45  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Uhwr !m2!J  
zrR=l(qKQD  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) sdQL?L:8  
{Bt2\?}l`  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 4I!D;@W 7  
N*Ft`Y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] pB}Ei/  
jg )>|] l  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) @ EjE?z  
C%k6%%a5d  
　　cos3a=4cos³a-3cosa CH Rc}M  
4 oQ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) &^m=bJZ8+  
T:Lp__ I M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EE^ vd}f  
WnhN*(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 1@&.pnn+  
l$3h_UC  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~N ' +b  
A1RTE,s  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} >,\Guk^?  
f2vq:dXymF  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^)wYF s  
't8^)qe?R  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ozGkBvO  
 hps;ZQ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] RX \re_g  
mB1 V\  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8NqA B#0  
TF5.0gfN  
　　上述两式相比可得 71lb9 =  
6LgVxP  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) M aj0Q_/  
0;rgrvup  
半角公式 v(z&fwI@)  
vm1fa  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); N4A 8  
6Ml*L`#r  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. da*t`({'  
^N WiB '  
和差化积 +WzqswQ}v  
wERW/+8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] uk0@f'%MjD  
=%04Z5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b@"W k C  
\?trr^.0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] t{6Z.&; |  
X(8/p"f>H  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  ^i! 0  
k0>zN5F  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  JT03&G  
E#$4}&G&c  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mI$6J$o  
rqOwhx3wb*  
积化和差 p d++NB*M/  
5)UK'-h  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Mi4sk &  
/G/@{[6;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4%3V,|U  
,JjL>ac)x(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {i~l7 Ed  
Y LI(n M<x  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^XPk2 ogTj  
1:{4|R7l   
诱导公式 )Mko?s7y9  
2^ IrS'p  
　　sin(-α) = -sinα 4ZVC  
Me(e /O  
　　cos(-α) = cosα p~z~;  
Km={l=8~  
　　sin(π/2-α) = cosα /0sb`;I_SZ  
\T 9Xw  
　　cos(π/2-α) = sinα P_&Wwf}:  
9va86S"D  
　　sin(π/2+α) = cosα en6"#Gt4  
<_Bg:zk  
　　cos(π/2+α) = -sinα TkcO7~J  
n-/KZ9JA  
　　sin(π-α) = sinα A dpj w  
4ifkVY .  
　　cos(π-α) = -cosα x8/%X]AS  
w'%l+# v  
　　sin(π+α) = -sinα M^ ~8D/  
.=V)BbgG'  
　　cos(π+α) = -cosα !YsKY 0/  
o)6lj  
　　tanA= sinA/cosA 1l^jBM"W  
[ .l_\,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα B:!'nLg  
0-4`.4w  
　　tan（π/2－α）＝cotα hMV{ig`#  
]`fI/ ;&aX  
　　tan（π－α）＝－tanα BS `bg  
{>6SDK  
　　tan（π＋α）＝tanα MFY$eA'  
.@7$o=!A2  
万能公式 S m-5 B~  
kZD_&  
　　 @7LE3"/i  
^tbwTcg  
其它公式 Y^5!DYs6  
6*C,#qc  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [StDq"VE  
M)|j+fTvx  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i4hPQZJS5  
p&]b|jIcE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 +'Aj~L Mf#  
)kx~lyhyt  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 lNXt@W:[  
*R +uW(  
　　对于任意非直角三角形,总有 F@Xa!pG?  
G%,hz .2E.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6i.x~]anQ  
sKm[utv=B>  
　　证: zBM}S{#d  
]!' f%G  
　　A+B=π-C )LSwE)ZvK  
[ZK\j-r  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &b5oI@"C:  
5X3c?F- O5  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) OwYw|~I|[  
>.h\v1-9  
　　整理可得 !=@]9_K6`  
q$4U=~@*z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :qP|^}H  
L"GzT0;B9c  
　　得证 yw@P3M^  
c\<; 4  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <*6IDoQt9  
pcmt"we  
其他非重点三角函数 {\aQa}1  
dbuQyKyl0z  
　　csc(a) = 1/sin(a) g(e"/X.  
T2^- |  
　　sec(a) = 1/cos(a) lA.R(2Cp>  
v|*begr(  
　　 Q)L&DWj:!  
b{Uh.  
双曲函数 UG3UP;C@#  
 :Qnrds  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 G}QH*D  
|F[D$JWHV  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?-/[?6=Cl  
ML 6#gP.g  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) t8YY}W`P A  
dYtIv&z  
　　公式一： }\e=9h&<R  
TQ _:-IlTn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： oTuLUD  
mMK/Z)>P  
　　sin（2kπ＋α）= sinα FK]m:}E  
atxGZ.d P  
　　cos（2kπ＋α）= cosα #`{il, I  
iaZ3w)D  
　　tan（kπ＋α）= tanα pfQXldM  
teEcz|7  
　　cot（kπ＋α）= cotα <C'OnW ^  
BJt81qI=  
　　公式二： V>17x+w@  
b|y{wAYD].  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： a.wHo;C{u7  
L!k(%vf@  
　　sin（π＋α）= -sinα Q0~q"r  
@UL$"*Y  
　　cos（π＋α）= -cosα =r!k{*G  
HNmzvjL"KP  
　　tan（π＋α）= tanα V@;},r  
002 p5ZO  
　　cot（π＋α）= cotα }/|a/c8J  
N5SWX;-qQT  
　　公式三： ZZ r8413  
#V}dxx\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： X&9M=1  
oG:/m_)N  
　　sin（-α）= -sinα 4td?k7@P  
A,X0v|Z-  
　　cos（-α）= cosα oo#z$BK}  
z%l/R3 8  
　　tan（-α）= -tanα \QL$6JM8  
6^Z}8'q  
　　cot（-α）= -cotα ?`TNIf=  
.a:ZIVU1^  
　　公式四： <A ]#)g  
}~Oy~D2p  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： J. Bm*:.8  
))sUMb o  
　　sin（π-α）= sinα Fl ?3   
$i2=&_~t  
　　cos（π-α）= -cosα /.WHME=u  
nLR 5zdB  
　　tan（π-α）= -tanα !G34TuU5l)  
wFR2xo:P  
　　cot（π-α）= -cotα b3 e$=S*  
$yy   
　　公式五： 6CB_Y  
<4;G'r[  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： y.*QGR  
x^Q[\T&4  
　　sin（2π-α）= -sinα /@IVR  
| } ,qW  
　　cos（2π-α）= cosα Z!N/mC  
 v;xgvDQl  
　　tan（2π-α）= -tanα '_azoOJ  
XUvw.d#>L  
　　cot（2π-α）= -cotα )kI8B* &5  
(;: 4=  
　　公式六： _`St}|C  
lWYE%]:F  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ;>`+csF  
Ea1,!0E%c  
　　sin（π/2+α）= cosα KiiClM  
a# 8?U]kf  
　　cos（π/2+α）= -sinα %Pa o:Q  
b c)4SE  
　　tan（π/2+α）= -cotα  v{>@1m  
}3 WZ6KD  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2\.cdFtuN  
Q)Lhs^9  
　　sin（π/2-α）= cosα 4V[|/m+c  
_8}y:MK  
　　cos（π/2-α）= sinα J RV{yrN@  
=xSU =7G"w  
　　tan（π/2-α）= cotα K[4 #Pk  
orgd9R  
　　cot（π/2-α）= tanα 5"|$TSC>  
"oruN)q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ?_ k!6>K]4  
aJa {Ja)  
　　cos（3π/2+α）= sinα > ^'wR?r  
eI N(*Q4  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 7jn S1A5  
]J#V!a io  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [M)_5^}  
wN X3Sv  
　　sin（3π/2-α）= -cosα d9M70,  
?;Rwn/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα S5 OuF"U  
$ D]=!]j  
　　tan（3π/2-α）= cotα EA&'&ZC,  
i8E:/2  
　　cot（3π/2-α）= tanα {fd(L S  
0:jfsu  
　　(以上k∈Z) RYFcwD%  
(sV5Ro  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .~fiO^/  
`XR^nTbfa  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = %G#(<6b8  
# !.lD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Sq[Y`(__2  
0 /WzmijU  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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